所有者が未成年の車でも廃車手続きできますか？

はい、できます。
ただし、買い取りという法律行為を行うことになりますので、未成年者単独での手続きは無効となります。そのため、未成年者のご両親（親権者あるいは成年後見人）の同意書が必要になります。必要書類につきましては、下記をご参照ください。
・車検証原本　・自賠責保険証書　・リサイクル券　・所有者の印鑑証明書　・所有者の委任状　・所有者の譲渡証明書　・親権者の印鑑証明書　・親権者の同意書　・親権者の戸籍謄（抄）本･･･未成年者と親権者の関係がわかるもの